\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°3}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°3}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}

\section*{Exercice 1}

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $a_0 = -1$ et 
\begin{eqnarray*}
a_{n+1} & = & \dfrac{a_n}{3-2a_n}
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
	\item On cherche à démontrer la propriété $\mathscr{P}_n : \{ a_n < 0\}$ pour tout $n$ entier. 
	\item \textbf{Initialisation :} La propriété $\mathscr{P}_0$ s'écrit $a_0 < 0$. Or d'après l'énoncé, $a_0 = -1 < 0$. La propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. (On a donc $a_n < 0$) \\
	
Or, $a_n < 0 \Rightarrow -2a_n > 0 \Rightarrow 3-2a_n >0$. Ainsi, dans l'expression de $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3-2a_n},$ le numérateur est négatif et le numérateur est positif. Le quotient est donc négatif. 

Ainsi, on a $a_{n+1} < 0$, c'est-à-dire $\P_{n+1}$ est vraie. \\

On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $a_n < 0$.} 
	\end{itemize}
\item Programme Scilab permettant de trouver le minimum et le maximum de la suite :
\begin{verbatim}
u = -1 // initialisation de la suite
min = u // Variable dans laquelle on enregistre le minimum
max = u // Variable dans laquelle on enregistre le maximum
for i = 1:100
    u = u/(3-2*u)
    if min > u then
        min = u
    end
    if max < u then
        max = u
    end
end
disp("Le minimum de la suite est " + string(min) + ".")
disp("Le maximum de la suite est " + string(max) + ".")
\end{verbatim}

\item D'après la question 1, $\forall n \in \N, a_n <0$ donc \fbox{$a_n \neq 0$}. Ainsi le dénominateur ne s'annule pas et on a bien $t_n = \dfrac{1}{a_n}$. 
\item On a pour tout $n \in \N$, \begin{eqnarray*}
t_{n+1} & =& \frac{1}{a_{n+1}}  \\
 & =& \frac{3 - 2a_n}{a_n} \\
 & =& \frac{3}{a_n} - \frac{2a_n}{a_n} \\
\end{eqnarray*}
Et finalement,
\begin{center}
\fbox{$t_{n+1}  = 3 t_n - 2$.}
\end{center}
\item L'expression de la suite $(t_n)_{n \in \N}$ trouvée à la question 4 est celle d'une suite arithmético-géométrique.
\begin{itemize}
\item On résout l'équation $x = 3x - 2 \Longleftrightarrow x = 1$. (Le nombre $\alpha$ du cours correspond donc à 1). 
\item On pose la suite $\forall n \in \N$, $v_n = t_n - 1$.  On a alors 
\begin{eqnarray*}
v_{n+1} & = & t_{n+1} - 1 = 3t_n -3 \\
\Longleftrightarrow v_{n+1} & =& 3(t_n -1) \\
\Longleftrightarrow v_{n+1} & =& 3 v_n.
\end{eqnarray*}
\item La suite $(v_n)_{n\in\N}$ est une suite géométrique de raison 3 et $v_0 = t_0 -1 = \frac{1}{a_0} - 1 = -2$. On en déduit que 
$$
\forall n \in \N, \quad v_n = -2 \times 3^n .
$$
\item Finalement, comme $t_n = v_n+1$,
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, \quad t_n = -2 \times 3^n  +1$.}
\end{center}
\end{itemize} 
\item Comme $t_n = \dfrac{1}{a_n} \Longleftrightarrow a_n = \dfrac{1}{t_n}$, d'après la question précédente, 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, \quad a_n = \dfrac{1}{-2 \times 3^n  +1}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Ecricome ECE 2015 - Exercice 1}

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $u_1 = 1$ et
$$
\forall n \in \N^*, \quad u_{n+1} = 1 - e^{-u_n}.
$$
\begin{enumerate}
\item On remarque que $e^x \geq x+1 \Longleftrightarrow e^x - (x+1) \geq 0$. On pose alors la fonction $f:x \to e^x -(x+1)$ définie sur $\R$ et on va montrer que $f$ est positive ou nulle pour tout $x$ réel. 
Afin d'étudier les variations et le signe de $f$, on dérive la fonction. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions usuelles dérivables sur $\R$. 
$$
\forall x \in \R, \quad f'(x) = e^x - 1.
$$ 
Or, \begin{eqnarray*}
\forall x \in \R, \quad e^x - 1  \geq 0 &\Longleftrightarrow & e^x \geq 1 \\
& \Longleftrightarrow & x \geq 0 \quad \text{(car la fonction $\ln$ est croissante)}\\
\end{eqnarray*}
Sachant que $f(0) = 0$, on en déduit le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(t)$/1.5,Variation de $f$/2, Signe de $f(t)$/1.5}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,+} 
\tkzTabVar{+/, - /$0$,+/ } 
\tkzTabLine{,+,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a alors: \fbox{$\forall x \in \R, \, f(x) \geq 0 \Longleftrightarrow e^x \geq x+1$ et $e^x = x+1$ si et seulement si $x = 0$.} 
\item On remarque que $u_1 = 1$ et pour tout $n \geq 2$, 
$$
u_{n} = f(u_{n-1}) > 0 \quad \text{(d'après la question précédente).}
$$
Donc \fbox{$\forall n \in \N^*, u_n >0$}. 
\item On complète le programme suivant pour afficher les 100 premiers termes de la suite
\begin{verbatim}
u = 1
for n = 1:99
    u = 1 - exp(-u)
    disp(u)
end
\end{verbatim}
\item
\fbox{On conjecture que la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ est décroissante.}
\item On va montrer par récurrence que la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ est décroissante. 
	\begin{itemize}
	\item On cherche à montrer les propriétés $\P_n : \{ u_{n+1} \leq u_n \}$. 
	item \textbf{Initialisation :} La propriété $\mathscr{P}_1$ s'écrit $u_2 \leq u_1$. Afin de montrer cette inéquation, on calcule $u_2 = 1 - e^{-u_1} = 1 - \frac{1}{e} < 1$. On a bien
	$$
	u_2 \leq u_1
	$$ 
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. (On a donc $u_{n+1} \leq  u_n$) \\
	
	\begin{eqnarray*}
u_{n+1} \leq  u_n & \Rightarrow & -u_{n+1} \geq -u_n \qquad \text{(multiplication par -1)} \\
& \Rightarrow & e^{-u_{n+1}} \geq e^{-u_n} \qquad \text{(La fonction exponentielle est croissante)} \\
& \Rightarrow & -e^{-u_{n+1}} \leq -e^{-u_n} \\
& \Rightarrow & 1-e^{-u_{n+1}} \leq 1-e^{-u_n} \\
& \Rightarrow & u_{n+2} \leq u_{n+1}
\end{eqnarray*}

On en déduit que $\P_{n+1} : \{ u_{n+2} \leq u_{n+1} \}$ est vraie et ainsi la suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} Pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} < u_{n}$. \begin{center}
	\fbox{En d'autres termes, la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ est décroissante. }
	\end{center}
	\end{itemize}
\remarque{Il y a une autre méthode, plus rapide, qui n'utilise pas la récurrence. En effet, d'après la question $1$, pour tout $x \in \R$, $e^x \geq x+1$. On a alors pour tout $n \in \N^*$, (en remplaçant $x$ par $-u_n$).}
\vspace{-20pt}
\begin{eqnarray*}
e^{-u_n} \geq  -u_n + 1 & \Rightarrow & -e^{-u_{n}} \leq u_n - 1 \qquad \text{(multiplication par -1)} \\
& \Rightarrow & 1 - e^{-u_{n}} \leq u_n  \\
& \Rightarrow & u_{n+1} \leq u_n 
\end{eqnarray*}

\item D'après la question $1$, pour tout $x \in \R$, $e^x \geq x+1$. On a alors  (en remplaçant $x$ par $u_n$ cette fois ci) :
\begin{eqnarray*}
e^{u_n} \geq  u_n + 1 & \Rightarrow & e^{-u_{n}} \leq \dfrac{1}{1+u_n} \qquad \text{(Fonction inverse décroissante sur $\R^+$)} \\
& \Rightarrow & -e^{-u_{n}} \geq -\dfrac{1}{1+u_n} \qquad \text{(Multiplication par $-1$)} \\
& \Rightarrow & 1 - e^{-u_{n}} \geq 1 - \dfrac{1}{1+u_n}  \\
& \Rightarrow & u_{n+1} \leq \dfrac{1+u_n-1}{1 +u_n} \\
& \Rightarrow & u_{n+1} \geq \dfrac{u_n}{1 + u_n}
\end{eqnarray*}
\item \begin{itemize}
	\item On cherche à démontrer les propriétés $\mathscr{P}_n : \left\{ u_n \geq \dfrac{1}{n} \right\}$ pour tout $n \geq 1$. \\
	\item \textbf{Initialisation :} La propriété $\mathscr{P}_1$ s'écrit $u_1 \geq 1$. Or d'après l'énoncé, $u_1 = 1 \geq 1$. La propriété $\mathscr{P}_1$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. (On a donc $u_n \geq \frac{1}{n}$) \\
	
Or, d'un côté $u_n \geq \frac{1}{n}$ et d'un autre côté, $1+u_n \geq 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{1+u_n} \leq 1$. On a alors
$$
\dfrac{u_n}{1+u_n} \geq \dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{1+u_n} \Longrightarrow u_{n+1} \geq \dfrac{1}{n} .
$$
{\it (La dernière inégalité est obtenue en se souvenant que $a \times b \geq a$ si $b \in [0;1]$)}
Enfin, comme $\dfrac{1}{n} \geq \dfrac{1}{n+1}$, on a 
$$
u_{n+1} \geq \dfrac{1}{n} \Longrightarrow u_{n+1} \geq \dfrac{1}{n+1}  .
$$
Ainsi, $\P_{n+1}$ est vraie. \\

On en déduit que la suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N^*$, $u_n \geq \dfrac{1}{n}$.} 
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3: Probabilités - ESC 1992} % Ecricome ECT 2004



\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'évènement $A_0$ est "La guêpe se trouve dans la pièce $A$ à l'instant 0". Vu l'énoncé, cet évènement est certain donc \begin{center}
\fbox{ $a_{0}=P\left( A_{0}\right) =1$.}
\end{center}
Pour la même raison, l'évènement $B_0$ : "La guêpe se trouve dans la pièce $B$ à l'instant 0", l'évènement $S_0$ : "La guêpe est sorti à l'instant 0" et l'évènement $S_1$ : "La guêpe est sorti à l'instant 1" sont des évènements impossible 
\begin{center}
\fbox{$b_{0}= P(B_0)=0$, $s_{0}= P(S_0) =0$ et $s_{1}= P(S_1) =0$.
}
\end{center}
\item On calcule la probabilité des évènements $A_1$ : "La guêpe est en $A$ à l'instant 1" et $B_1$ : "La guêpe est en $B$ à l'instant 1". Comme l'on sait que la guêpe était en $A$ à l'instant 0, on a 
\begin{center}
 \fbox{$a_{1}=P\left( A_{1}\right) = \dfrac{1}{3}$ et $b_1 = P(B_1) = \dfrac{2}{3}$}
 \end{center} 
L'évènement  $S_2$ : "La guêpe sort à l'instant 2" n'arrive que si la guêpe était en $A$ à l'instant 0, en $B$ à l'instant 1 et en $D$ à l'instant 2. Ainsi $S_2 = A_0 \cap B_1 \cap D_2$. D'après la formule des probabilités composées
\begin{center}
\fbox{$s_{2}=P\left( S_{2}\right) =P\left( A_{0}\cap B_{1}\cap D_{2}\right)
=P\left( A_{0}\right) \cdot P_{A_0}\left( B_{1}\right) \cdot P_{A_{0}\cap B_{1}} \left(D_{2}\right) =1\cdot 2/3\cdot 1/4=1/6$}
\end{center}


\item  On cherche à calculer la probabilité de $B_1$ sachant $A_2$. A l'aide de la formule de Bayes
\[
P_{A_2} \left( B_{1}\right) =\frac{P\left( B_{1}\cap A_{2}\right) }{P\left(
A_{2}\right) }=\frac{P\left( B_{1}\right) P_{B_1}\left( A_{2}\right) }{%
P\left( A_{2}\right) }
\]
Comme $\left( A_{1},B_{1}\right) $ est un syst\`{e}me complet
d'\'{e}v\'{e}nements, on applique la formule des probabilités totales :
\[
P\left( A_{2}\right) = P \left( B_{1}\right) P_{B_1} \left( A_{2}\right)
+P\left( A_{1}\right) P_{A_1}\left( A_{2}\right) =\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4%
}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{18}
\]
Ainsi 
\begin{center}
\fbox{$
P_{A_2}\left( B_{1}\right) =\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}}{\frac{5}{18}}%
=\frac{3}{5}
$}
\end{center}


\item  Pour \^{e}tre en $A$ \`{a} l'instant $n+1$ elle pouvait \^{e}tre en $A
$ ou en $B$ \`{a} l'instant pr\'{e}c\'{e}dent. donc $A_{n+1}=\left(
A_{n}\cap A_{n+1}\right) \cup \left( B_{n}\cap A_{n+1}\right) $ et de la
m\^{e}me fa\c{c}on $B_{n+1}=\left( A_{n}\cap B_{n+1}\right) \cup \left(
B_{n}\cap B_{n+1}\right) .$


Comme les évènements $\left( A_{n}\cap A_{n+1}\right) $ et $\left( B_{n}\cap
A_{n+1}\right) $ sont incompatibles, 
\begin{eqnarray*}
P \left( A_{n+1}\right)  &=& P\left( A_{n}\cap A_{n+1}\right) +P\left(
B_{n}\cap A_{n+1}\right) \\
\Longleftrightarrow P \left( A_{n+1}\right)  & = & P\left( A_{n}\right) P_{A_n} \left( A_{n+1}\right)
+p\left( B_{n}\right) p_{B_n}\left( A_{n+1}\right)  
\end{eqnarray*}
Or la probabilité que la guêpe soit en $A$ à l'instant $n+1$ sachant que la guêpe est en $A$ à l'instant $n$ est $1/3$ (donné dans l'énoncé). De même  la probabilité que la guêpe soit en $A$ à l'instant $n+1$ sachant que la guêpe est en $B$ à l'instant $n$ est $2/3$. Ainsi $P_{A_n}(A_{n+1}) = \dfrac{1}{3}$ et $P_{B_n}(A_{n+1}) = \dfrac{1}{4}$ et 
\begin{center}
\fbox{$
 a_{n+1} =\dfrac{1}{3}a_{n}+\dfrac{1}{4}b_{n}
$}
\end{center}
et de la m\^{e}me fa\c{c}on 
\begin{center}
\fbox{$\displaystyle b_{n+1}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{2}b_{n}.$}
\end{center}

\item Voici un script scilab permettant de calculer les $n^{ème}$ termes de la suite $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$.
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un nombre entier : ")
a = 1 // initialisation de la suite a_n
b = 0 // initialisation de la suite b_n
for i = 1:n
    c = a // enregistrement de la suite a
    a = (1/3) * a + (1/4) * b 
    b = (2/3) * c + (1/2) * b
end

disp("Le n-ème terme de la suite a est " + string(a) + ".")
disp("Le n-ème terme de la suite b est " + string(b) + ".")
\end{verbatim}

\item  On a pour tout $n\in $ $\Bbb{N}$, 
\[
b_{n+1}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{2}b_{n}=2\left( \frac{1}{3}a_{n}+\frac{1}{4%
}b_{n}\right) =2a_{n+1} .
\]
\begin{center}
\fbox{Donc pour tout entier $n\in \Bbb{N}^{*},$ $b_{n}=2a_{n}.$ (en
substituant $n$ \`{a} $n+1)$}
\end{center}


\item  On a alors: pour tout entier $n\ge 1,$%
\[
a_{n+1}=\frac{1}{3}a_{n}+\frac{1}{4}2a_{n}=\frac{5}{6}a_{n}
\]
donc $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite g\'{e}om\'{e}trique de raison 5/6 et de premier terme 
$a_{1}=1/3$ donc 
\[
a_{n}=\left( \frac{5}{6}\right) ^{n-1}\frac{1}{3}=\left( \frac{5}{6}\right)
^{n}\frac{1}{3} \times \frac{6}{5}=\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}\times \frac{2%
}{5}\text{ pour }n\ge 1
\]
En conclusion, \begin{center}
\fbox{Pour tout $n \ge 1$, $\displaystyle
a_{n}=\frac{2}{5}\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}$ et $\displaystyle
b_{n}=\frac{4}{5}\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}$}
\end{center}

\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item  La gu\^{e}pe ''sort'' si l'instant d'avant elle \'{e}tait en $B$ et
que l''instant d'apr\`{e}s elle est dehors.


Donc \`{a} partir de l'instant $n=2,$ 
\[
s_{n}= P\left( S_{n}\right) = P\left( B_{n-1}\cap D_{n}\right) = P\left(
B_{n-1}\right) \times P_{B_{n-1}}\left( D_{n}\right) =\frac{1}{4}b_{n-1}
\]
Ainsi \begin{center}
\fbox{$s_n = \dfrac{1}{5} \times \left( \dfrac{5}{6}\right) ^{n-1}$. }
\end{center}

\item  La gu\^{e}pe est dehors \`{a} l'instant 10 si elle sort entre
l'instant 2 et 10. On peut alors écrire
$$
D_{10}=\bigcup_{k=2}^{10}S_{k}
$$
Les évènements $S_k$ sont deux à deux incompatibles, ainsi
Donc 
\begin{eqnarray*}
P \left( D_{10}\right) & = & P\left( S_{2}\right) + P\left( S_{3}\right) + \ldots + P\left( S_{10}\right)\\
& =& 6 \left( \frac{5}{6}\right) ^{2} + 6 \left( \frac{5}{6}\right) ^{3} + \ldots + 6 \left( \frac{5}{6}\right) ^{10} \\
& =& 6 \left( \left( \frac{5}{6}\right) ^{2} +  \left( \frac{5}{6}\right) ^{3} + \ldots + \left( \frac{5}{6}\right) ^{10} \right) \\
& = & 6 (u_2 + u_3 + \ldots + u_{10}) \\
\end{eqnarray*}
ou la suite $u$ est une suite géométrique de raison $5/6$. Ainsi 
\begin{center}
\fbox{$
P\left( D_{10}\right) =5\left( \frac{5}{6}\right) ^{2}\frac{1 - \left( \frac{5}{6}\right) ^{8}%
}{1 -\frac{5}{6}}=\frac{5^{3}}{6}\left( 1-\left( \frac{5}{6}\right)
^{8}\right) 
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}